Dystrybuanta

1.4. Dystrybuanta

Dystrybuanta jest definiowana jako prawdopodobieństwo tego, że zmienna X ma wartości mniejsze bądź równe x :

$\ P(X \le x) = \int\limits_{-\infty}^x \frac{1} {\sigma\sqrt{2\pi} } e^{-(u-\mu)^2 \over (2\sigma^2)}\,du$ 1.4.1

Całka jest skomplikowana i policzyć ją można tylko za pomocą tablic statystycznych, kalkulatorów lub oprogramowania komputerowego. Tablice zawierają dane dla dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego, tradycyjnie oznaczanej jako Φ i zdefiniowanej jako rozkład o parametrach μ = 0 i σ = 1:

$\Phi(z) = \int\limits_{-\infty}^z {1 \over \sqrt{2\pi} }\,e^{-{x^2 \over 2}}\,dx$ 1.4.2

Związek dystrybuanty Φ i dystrybuanty rozkładu normalnego X o dowolnie zadanych parametrach μ i σ otrzymuje się za pomocą standaryzowania rozkładu (zob. też poniżej).

$P(X \le x) = \Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$ 1.4.3

Parametry rozkładu

wartość oczekiwana: μ
mediana: μ
wariancja: $σ 2$
odchylenie standardowe: $σ$
skośność: 0
kurtoza: 0 (lub 3, przyjmując dawniej używaną definicję).

Standaryzowanie zmiennych losowych o rozkładzie normalnym

Konsekwencją własności 1 jest możliwość przekształcenia wszystkich zmiennych losowych o rozkładzie normalnym do standardowego rozkładu normalnego.

Jeśli X ma rozkład normalny ze średnią μ i wariancją σ², wtedy:

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ 1.4.4

Z jest zmienną losową o standardowym rozkładzie normalnym N(0, 1).

Odwrotnie, jeśli Z jest zmienną losową o standardowym rozkładzie normalnym, to:

$X=\sigma Z+\mu \,$ 1.4.5

jest zmienną o rozkładzie normalnym ze średnią μ i wariancją σ².

Standardowy rozkład normalny został stabilizowany i inne rozkłady normalne są prostymi transformacjami rozkładu standardowego. W ten sposób możemy używać tablic dystrybuanty rozkładu normalnego do wyznaczenia wartości dystrybuanty rozkładu normalnego o dowolnych parametrach.

Generowanie zmiennych losowych o rozkładzie normalnym

W badaniach szeregów czasowych w celach porównywania stworzonych modeli matematycznych należy wygenerować wartości zmiennej losowej o rozkładzie normalnym. Istnieje kilka metod, najprostszą z nich jest odwrócenie dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego, transformacja Boxa-Mullera, w której dwie zmienne losowe o rozkładzie jednostajnym (pojęcie generatora liczb losowych) są transformowane na zmienne o rozkładzie normalnym. Ogólnie przyjmuje się, że do generowania liczb losowych stosuje się metodę Monte Carlo. Notowania giełdowe rozpatrywać należy jako proces stochastyczny, a dane notowanie, z danego dnia jest stanem procesu stochastycznego. Dobrym przybliżeniem takiego procesu jest proces Markowa.

Centralne twierdzenie graniczne

Jedną z najważniejszych własności rozkładu normalnego jest fakt, że, przy pewnych założeniach, rozkład sumy dużej liczby zmiennych losowych jest w przybliżeniu normalny. Jest to tak zwane centralne twierdzenie graniczne.

W praktyce twierdzenie to ma zastosowanie, jeśli chcemy użyć rozkładu normalnego jako przybliżenia dla innych rozkładów.

Rozkład dwumianowy z parametrami n i p jest w przybliżeniu normalny dla dużych n i p nie leżących zbyt blisko 1 lub 0. Przybliżony rozkład ma średnią równą μ = np i odchylenie standardowe σ = (n p (1 - p))^1/2.

Rozkład Poissona z parametrem λ jest w przybliżeniu normalny dla dużych wartości λ. Przybliżony rozkład normalny ma średnią μ = λ i odchylenie standardowe σ = √λ.

Dokładność przybliżenia tych rozkładów zależy od celu użycia przybliżenia i tempa zbieżności do rozkładu normalnego. Zazwyczaj takie przybliżenia są mniej dokładne w ogonach rozkładów.

Nieskończona podzielność

Rozkład normalny należy do rozkładów mających własność nieskończonej podzielności.

W teorii prawdopodobieństwa funkcja charakterystyczna dowolnego rozkładu prawdopodobieństwa na osi rzeczywistej jest zdefiniowana poniższym wzorem, gdzie X jest dowolną zmienną losową o tym rozkładzie:

$\varphi(t)=E\left(e^{itX}\right).$ 1.4.5

Jeśli X jest zmienną losową o wartościach wektorowych, to argument t jest wektorem, zaś tX iloczynem skalarnym.

Na funkcję charakterystyczną można patrzeć jako na transformatę Fouriera rozkładu zmiennej losowej.

Powrót do rekomendacji